Onore a Martin Gardner
Martin Gardner, celebre divulgatore scientifico, è morto a Seattle all’età di 95 anni.
Gardner ha curato per venticinque anni la rubrica ‘Mathematical Games’ sulla rivista Scientific American e ha pubblicato più di cinquanta libri. Nel 1957 ha curato la raccolta Great Essays in Science, una collezione di saggi scientifici che ha venduto migliaia di copie ed è ancora in commercio.
Un suo famosissimo suo indovinello, pubblicato per la prima volta nell’ottobre 1959, è quello che sarà famoso con nome di Dilemma di Monty Hall.
Nel braccio della morte, tre prigionieri aspettano l’alba della fucilazione. In onore del compleanno del re, si sa che uno dei tre sarà graziato, e il guardiano sa chi dei tre avrà salva la vita, ma non lo vuole svelare.
Uno dei tre (chiamiamolo A), attanagliato dall’angoscia, gli dice: “Dato che uno solo dei tre sarà graziato, certamente uno degli altri due (B e C) dovrà morire. Se mi dici il nome di uno fra B e C, destinato a morire domani all’alba, ti regalo il mio orologio d’oro. Tu non tradisci il segreto, perchè non sveli il graziato, e io avrò un po’ meno angoscia. “Il guardiano si fa convincere e svela: “B morirà”.
A dona il suo orologio alla guardia e si sente sollevato: Aveva il 33% di chance di salvarsi, ora restano solo lui e C, quindi le sua possibilità sono cresciute al 50%.
E’ corretto il suo ragionamento? La risposta è non ovviamente no!
Martin Gardner ha così commentato il problema: WONDERFULLY CONFUSING!
Una versione più moderna lo ripropone in questi termini:
Jones, un giocatore d’azzardo, mette tre carte coperte sul tavolo. Una delle carte è un asso; le altre sono due figure.
Voi appoggiate il dito su una delle carte, scommettendo che sia l’asso. Ovviamente, la probabilità che lo sia realmente è pari a 1/3.
Ora Jones dà una sbirciatina di nascosto alle tre carte. Dato che l’asso è uno solo, almeno una delle carte che non avete scelto deve essere una figura. Jones la volta e ve la fa vedere.
A questo punto, qual è la probabilità che ora il vostro dito sia sull’asso?
Molti pensano che la probabilità sia salita da 1/3 a 1/2. Dopo tutto, ci sono solo due carte coperte, e una deve essere l’asso. In realtà la probabilità rimane 1/3.
La probabilità che non abbiate scelto l’asso rimane 2/3, anche se Jones sembra aver eliminato parzialmente l’incertezza mostrando che una delle due carte non prescelte non è l’asso.
La probabilità che l’altra delle due carte non prescelte sia l’asso, tuttavia, resta uguale a 2/3, perché la scelta era avvenuta prima. Se Jones vi desse l’opportunità di spostare la vostra scommessa su quella carta, dovreste accettare (sempre che non abbia qualche carta nella manica, naturalmente).
Il problema può forse chiarirsi se invece di tre carte supponiamo che ce ne siano cento.
Jones, una volta che ne avete scelta una, ne apre novantotto: a questo punto cosa sceglie il giocatore? Mantiene la scelta fatta o passa all’altra rimasta chiusa?
Generalizzando, di n carte 1/n è la scelta del giocatore, n-2/n la “liberazione di Jones”.
Per mantenere la propria scelta, il giocatore dovrebbe confidare che la 1/n probabilità scelta inizialmente sia proprio quella buona.
